Định luật Born khẳng định rằng nếu một đại lượng cần đo ứng với một toán tử Hermit A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} có phổ rời rạc được đo trong một hệ với hàm sóng chuẩn hóa | ψ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle } thì
- kết quả của phép đo sẽ là một giá trị riêng a {\displaystyle a} of A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} , và
- xác suất đo được một giá trị riêng a i {\displaystyle a_{i}} bằng với ⟨ ψ | P i | ψ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle } , ở đó P i {\displaystyle P_{i}} là phép chiếu trên không gian riêng của A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} ứng với a i {\displaystyle a_{i}} .
(Trong trường hợp không gian riêng của A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} ứng với a i {\displaystyle a_{i}} là không gian một chiều sinh bởi vectơ riêng chuẩn hóa | a i ⟩ {\displaystyle \scriptstyle |a_{i}\rangle } , P i {\displaystyle P_{i}} bằng ⟨ ψ | a i ⟩ ⟨ a i | ψ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \langle \psi |a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle } , do đó xác suất ⟨ ψ | P i | ψ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle } bằng ⟨ ψ | a i ⟩ a i | ψ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \langle \psi |a_{i}\rangle a_{i}|\psi \rangle } . Vì
số phức ⟨ a i | ψ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \langle a_{i}|\psi \rangle } được gọi là
biên độ xác suất để vectơ trạng thái | ψ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle } được gán cho vectơ riêng | a i ⟩ {\displaystyle \scriptstyle |a_{i}\rangle } , định luật Born thường được hiểu rằng xác suất bằng với bình phương của biên độ (trên thực tế biên độ tự quyết định
giá trị phức liên hợp của nó). Nói cách khác, xác suất có thể được viết dưới dạng | ⟨ a i | ψ ⟩ | 2 {\displaystyle \scriptstyle |\langle a_{i}|\psi \rangle |^{2}} .)
Trong trường hợp phổ của A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} không hoàn toàn rời rạc, định lý phổ chứng minh sự tồn tại của phép đo giá trị phép chiếu Q {\displaystyle Q} nhất định, là phép đo phổ của A {\displaystyle A} . Trong trường hợp này,
- xác suất để kết quả của phép đo nằm trong một tập hợp có thể đo được M {\displaystyle M} sẽ được cho bởi ⟨ ψ | Q ( M ) | ψ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle } .
Nếu được cho một phương trình sóng ψ {\displaystyle \scriptstyle \psi } cho một đơn hạt không cấu trúc trong không gian vị trí,có thể nói rằng hàm mật độ xác suất p ( x , y , z ) {\displaystyle p(x,y,z)} cho một phép đo vị trí tại thời điểm t 0 {\displaystyle t_{0}} sẽ được cho bởi p ( x , y , z ) = {\displaystyle p(x,y,z)=} | ψ ( x , y , z , t 0 ) | 2 . {\displaystyle \scriptstyle |\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}
